I’m so psyched!
すごく楽しみ!

I was puzzled to know his situation
彼の状況を知ってとても戸惑った(困った)
戸惑う はなかなかメール中で使いませんが知っていると便利ですね

I’m game!
のります! (やります!)

Are you game in this project ? このプロジェクトに乗るかい? の問いに対しての答えです。ある程度、相手を知っている状態で使うのがよろしいかと。

They support whizzier graphics function
彼らはビューっと飛ぶように早いグラフィックス機能をサポートしてるんだ

whizは、ビューっと走る(飛ぶ)という意味があります。

They were totally blown away
彼らは心底(完全に)驚いた

びっくりしたという方が合ってますね。blown awayはひどく驚く、totallyはすっかり・完全に、という意味です。かなり強いフレーズです。

Not surprisingly, it didn’t work
Not surprisinglyは、当然のことながら, 毎度のことながら、という意味です。文頭で使います。

当然のことながら、うまくいかなかった。

I looked the clouds in the sky absent-mindedly during he was talking.
absent-mindedlyは、「うわの空で、ぼんやり」という意味です。

彼が喋っている間、うわの空で雲を見ていました。

He didn’t take the bait
彼は相手の誘惑に乗らなかった

baitは、餌付けする・餌という意味があります。直訳だと餌を取らなかった、になります。

I crave his affection now
今まさに私は、彼の優しい気持ち(好意)が必要だ

crave は、切望する、が必要である、という意味です。

The future is looking very bleak
この先、将来に希望はありません

bleakは、天候が寒い、どんよりした、という意味と(見通しが)暗い、希望がない、という意味です。

The more I exchange email with you, the more I love you.
メールでのやり取りをする度に、あなたをどんどん好きになる。

the more.. the more..で、 〜すればするほど、ますます〜になる、という意味になります。

You are most welcome! または You are very welcome!
大歓迎します!という意味です。mostもveryも同じ程度の強さかと思います。 良く使うのは You are welcomeですね。歓迎します、を強める言い方です。

Yikes! Not very good. I can try to set something up 5 or 6 hours later tomorrow
Yikesは、yipeと同じ意味で、ウワッ、ヒャー、のような、oh!よりも強い驚きや苦痛を表す時に使います。
上の例は、電話会議を設定してもらったけどそれは日本では3:00amですよ、とメールしたときの外人の返答です。

I’m wary of the fact that the above resembles a data dump which is something we’re trying to avoid but for the deliverable in mind.
waryは、慎重な、用心深い、という意味です。resembleは、〜と似ている、という意味です。in mindは、考慮して、という意味です。but forは、〜を別にすれば、という意味です。
上記に挙げたデータダンプ内容は、データを出荷するということを別にすれば、まさに我々が避けようとしている内容に似ている。この事実から、慎重に行おうと思います。(ちょっとうまく日本語にしずらいです。。すいません)

He had a zest for life
zest for lifeで、生きる熱意という意味になります。彼は生きる熱意があった。という意味になります。

provoke unhelpful backlash
provokeは、〜を引き起こす。招く。〜を挑発するという意味です。上記で、「役に立たない反発を招く」という意味になります。このどちらかの単語で出会った時に、invokeとprovokeはどう違うのだろうか?とよく思います。invokeは、「誘い出す、引き起こす、祈る」という意味。。あれ、同じですね。。provokeの方が、わざとらしくですかね。invokeは、その気がないのに結果的にそうなった、という事かな、と思います。

They court with gusto.
彼らは心から喜んでつき合っています。with gustoで「心から喜んで」「活気に満ちあふれて」とい意味になります。courtは男女の交際を意味します。広く一般には、「裁判」の意で聞く事が多いですよね。

everyone here is equally aghast.
aghast: びっくりして、あきれかえる、ギョッとする、という意味です。surprisedよりも強い驚きで且つ、より感情がこもった表現ですね。友達と話をしている時に、相当ビックリしたよー、って感じで使います。あまりビジネスの場では使わないかもしれません。